Програма для 9 класу ПОГЛИБЛЕНЕ ВИВЧЕННЯ

Пояснювальна записка

Основним завданням вивчення математики в освітньому закладі загальноосвітньої середньої школи є забезпечення міцного і свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і умінь, формування рівня математичної культури, що є необхідним у продовженні освіти та майбутній трудовій діяльності.

Поглиблене вивчення математики, крім виконання зазначених вище завдань, передбачає формування в учнів стійкого інтересу до предмета, виявлення і розвиток математичних здібностей, орієнтацію на професійну діяльність, яка потребує високого рівня математичних знань, підготовки до навчання у вищому навчальному закладі з відповідним фаховим спрямуванням.

Перший етап поглибленого вивчення математики (8-9 клас) є певною мірою орієнтаційним. На цьому етапі слід допомогти учневі усвідомити ступінь свого інтересу до предмету і оцінити можливості оволодіння ним з тим, щоб по закінченню 9 класу він міг зробити свідомий вибір на користь подальшого поглибленого вивчення математики або вивчення в рамках загальноосвітнього курсу.

Інтерес учня до вивчення математики має постійно стимулюватися і розвиватися. Проте у випадку втрати в учня інтересу до математики програма має передбачати можливість безболісного переходу до вивчення предмета в рамках загальноосвітнього курсу.

Вимоги до знань учнів при поглибленому вивченні математики не мають бути надмірними. Завищені вимоги породжують перевантаження і, як наслідок, призводять до згасання інтересу до предмета. Тому вимоги до результатів поглибленого вивчення математики на першому етапі мають лише незначною мірою перевищувати вимоги загальноосвітньої програми і відповідати достатньому рівню навчальних досягнень.

На першому етапі поглиблене вивчення математики має відбуватися не стільки за рахунок розширення теоретичного матеріалу, а насамперед шляхом наповнення курсу різноманітними цікавими і складними задачами з достатнім евристичним навантаженням. Для підтримки інтересу до предмета слід включати до процесу навчання задачі з розважальними елементами, відомості з історії математики. Успішність вирішення завдань поглибленого вивчення математики значною мірою залежить від організації навчального процесу. Учителю має бути надана можливість вільного вибору методичних шляхів й організаційних форм навчання. Учитель може в рамках програми самостійно будувати курс навчання: варіювати кількість годин на вивчення тієї чи іншої теми, міняти послідовність вивчення тем. Проте при цьому учневі має бути забезпечена можливість перейти від поглибленого вивчення математики до звичайного без відставання від програми загальноосвітніх класів.

Для реалізації програми учитель може обирати підручники як з числа тих, що використовуються в загальноосвітній школі, так і призначені для поглибленого вивчення математики.

Тематичне планування навчального матеріалу виходить з навчального плану для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики, згідно з яким в основній школі у кожному з 8 і 9 класів вивчають два предмети – алгебру (5 год на тиждень, разом 175 год) і геометрію (3 год на тиждень, разом 105 год).

Зазначимо деякі особливості програми. Складові частини поглибленого вивчення математики органічно включені до загальноосвітнього курсу як його поглиблення, розширення і застосування набутих в основному курсі знань до розширеного кола задач, а також розширене вивчення властивостей об’єктів, що вивчаються в основному курсі. Розглядаються додаткові методи для розв’язування задач на базі теоретичного матеріалу, поданого в основному курсі. Утім, до поглибленого курсу включено кілька тем, які в загальноосвітньому курсі вивчаються на рівні означень і найелементарніших понять. Це множини і операції над ними; множини в теорії чисел; основні формули комбінаторики; метод математичної індукції; елементи аналітичної геометрії; застосування векторів і геометричних перетворень до розв’язування задач. Цей перелік тем спрямований насамперед на розширення і поглиблення математичного апарату, який використовується учнями, і є базою для подальшого вивчення курсу математики та базованих на ньому дисциплін на високому науковому рівні. Ряд тем поглибленої програми звертає увагу на обґрунтування тих відомостей, які в загальноосвітньому курсі подаються як дане. Наприклад, поглиблений розгляд понять «рівносильне рівняння», «рівносильна нерівність» формує в учня потребу доводити факти, які здаються інтуїтивно очевидними, тобто формує в учня, схильного до поглибленого вивчення математики, необхідний для цього у подальшому формально-логічний підхід, який він надалі використовуватиме у вищій школі і відповідній фаховій діяльності.

Програма передбачає можливість різного рівня поглиблення під час вивчення матеріалу. У ній виокремлено три рівні складності навчального матеріалу: такий, що вивчається в рамках загальноосвітнього курсу; матеріал для поглибленого вивчення; додаткові питання і теми. Це дозволяє вчителеві гнучко враховувати можливості класу та наявність часу для вивчення окремих тем у поточний момент.

Розглянемо особливості тематики програми поглибленого вивчення математики в 8-9 класах.

У зв’язку з тим, що до класів з поглибленим вивченням математики поступають школярі з різним рівнем підготовки, то перша тема програми курсу алгебри 8 класу присвячена повторенню і систематизації навчального матеріалу з курсу 7 класу. У розділі «Повторення курсу алгебри 7 класу» основна увага приділяється темам, на яких надалі базується курс алгебри 8 класу: вирази та їх тотожні перетворення; функціональні залежності; рівняння і системи лінійних рівнянь з двома змінними.

Другою темою є «Множини і операції над ними». Вивчення цього розділу на початку курсу дозволяє у подальшому ефективно використовувати символіку і понятійний апарат теорії множин. Так, під час вивчення тем «Рівносильні рівняння», «Рівняння-наслідок», «Розв’язування систем і сукупностей рівнянь і нерівностей» широко використовуватимуться операції над множинами. Важливе місце у цьому розділі займає поняття «взаємно однозначна відповідність між елементами множин». Успішне засвоєння цього матеріалу закладає підґрунтя для вивчення понять, у яких істотну роль відіграють бієктивні відображення. Принципово новими є для учнів властивості нескінченних множин, зокрема, рівнопотужність множини і її власної підмножини; зліченність множин. Важливим є доведення зліченності множини цілих чисел.

Тема «Раціональні вирази» є традиційною в курсі алгебри 8 класу. Саме тут формуються навички тотожних перетворень раціональних виразів. Також у цій темі розглядаються такі важливі і складні поняття, як рівносильні рівняння, рівняння – наслідок даного, рівняння з параметрами. Слід зазначити, що в програмі загальноосвітньої школи ці відомості висвітлюються вкрай побіжно; водночас у класах з поглибленим вивченням математики цьому приділяється значна увага як важливій складовій математичної освіти. Докладний розгляд понять «рівносильні рівняння», «рівняння-наслідок даного» і пов’язаних з цим питань формує в учнів навички уважного ставлення до можливого розширення чи звуження множини розв’язків рівнянь (нерівностей), потребу аналізу джерел появи сторонніх коренів і відстеження тих перетворень, які порушують рівносильність.

Рівняння з параметрами є важливим розділом, якому приділяється увага в класах з поглибленим вивченням математики. В учнів формується поняття про те, яким чином значення параметру впливає на множину розв’язків рівняння; відповідно мають бути сформовані навички виокремлення і групування конкретних значень параметра або проміжків значень відповідно до того, до якого виду зводиться задане рівняння при цих значеннях параметра. Продовжується знайомство з графічними методами розв’язування рівнянь. Учні мають розуміти, що суто графічні методи дають наближені результати і потребують перевірки. Тому наголошується, що доцільність використання графічних методів полягає не стільки в отриманні розв’язків рівняння, скільки в наочному зображенні властивостей функцій і рівнянь, які дозволяють за графічними зображеннями зробити висновок щодо їх застосування для розв’язування рівнянь і нерівностей. Тому велика кількість вправ має бути спрямована на вивчення графічних зображень рівнянь першого і другого степеня, їх властивостей і використання цих властивостей для розв’язування рівнянь.

У загальноосвітній школі вивчення теми «Нерівності» передбачено у 9 класі. Програма для класів з поглибленим вивченням математики передбачає вивчення теми «Нерівності» у 8 класі. Такий підхід дозволяє під час вивчення тем «Властивості квадратного кореня», «Розв’язування рівнянь з модулем», «Побудова графіків функцій» звернути увагу учнів на необхідність постійно мати на увазі множину допустимих значень виразів, які входять до рівнянь, а також відслідковувати перетворення, які можуть вплинути на множину допустимих значень змінних (розширити чи звузити її) у ході розв’язування рівнянь. Зазначене дозволяє суттєво урізноманітнити зміст завдань. На відміну від загальноосвітніх класів, вивчення теми «Нерівності» багато в чому спирається на апарат теорії множин, вивчений у відповідній темі, зокрема, запис розв’язків має виконуватися з використанням символіки теорії множин.

Тема «Квадратні корені. Дійсні числа» за обсягом теоретичного матеріалу ненабагато розширює програму для загальноосвітніх класів. Вкрай важливим тут є введення поняття ірраціональних чисел. Обґрунтовується необхідність у розширенні числової множини в зв’язку з неможливістю виконання нових операцій в межах тих числових множин, що вивчено раніше. При вивченні цієї теми доцільно розглянути приклади побудови ірраціональних чисел, довести зліченність множини раціональних чисел, після чого на прикладі множини дійсних чисел ввести поняття незліченної множини. Дидактичний матеріал цієї теми спрямовано на формування навичок перетворення (спрощення) виразів, які містять квадратні корені.

Тема «Квадратні рівняння» є досить стандартною: розглядаються формули коренів квадратного рівняння, теорема Вієта, неповні квадратні рівняння, біквадратні рівняння. Проте в класі з поглибленим вивченням математики не можна обмежуватися формуванням навичок алгоритмічного застосування зазначених теоретичних відомостей і формул. Значну увагу треба приділити способам зведення рівнянь вищих степенів до квадратних, біквадратних, неповних квадратних і лінійних рівнянь, провідними з яких є методи заміни змінної і розкладання на множники. Ці методи не є формально алгоритмізованими, тому при вивченні цієї теми з використанням численних прикладів і широкого дидактичного матеріалу в учнів мають бути сформовані певні дослідницькі навички і інтуїція, яка дозволяє побачити «вигідний» спосіб розв’язування рівняння. Значне місце в цій темі відводиться рівнянням з параметрами.

Тема «Основи теорії подільності» є найскладнішою для вивчення у восьмому класі, оскільки в учнів практично не сформована потреба використання знань у цій області для розв’язування задач. Ця тема – одна з тих, де найбільш яскраво проявляється здатність учнів до евристичного мислення, а отже, й до вивчення математики на поглибленому рівні. Навчальне навантаження підсилюється тим, що вивчення цієї теми відбувається наприкінці навчального року. Тому в цій темі можна виокремити три основні напрями. Перший напрям – знайомство з класичними ключовими поняттями теорії чисел (формулюється і доводиться основна теорема арифметики, формується поняття про розбиття множини натуральних чисел на класи еквівалентності за заданим модулем, детально розглядаються поняття, пов’язані з простими числами тощо). Другий напрям – узагальнення і розширення знань з теорії подільності, отриманих у попередніх класах, розширення навичок їх практичного застосування. Третій напрям – формування в учнів переконання в практичній застосовності теорії чисел шляхом розширення математичного світогляду, ознайомлення з історією теорії чисел, дослідженнями в цій галузі (роботи П. Ферма, М. Мерсенна, історія досліджень простих чисел тощо). Підкріплення значущості зазначеного теоретичного матеріалу відбувається шляхом його застосування до визначення подільності чисел (формулювання і доведення ознак подільності) і розв’язування цілих раціональних рівнянь (зокрема, з використанням теореми Безу). Для емоційного підкріплення інтересу до матеріалу доцільно використовувати історичні відомості щодо дослідження проблем простих чисел, чисел-близнюків, досконалих чисел тощо. Зручною нагодою для встановлення між предметних зв’язків є розгляд таблиць простих чисел, що може бути завданням для опрацювання на уроках інформатики.

У курсі геометрії 8 класу, як і в курсі алгебри, першою темою є повторення і систематизація знань учнів.

Друга тема «Многокутники» є розширенням і поглибленням відповідної теми «Чотирикутники», яка вивчається в загальноосвітніх класах. У класах з поглибленим вивченням математики доцільно випрацювати підхід до чотирикутника як окремого виду многокутників і здійснювати вивчення матеріалу від загального до окремого: від многокутника до чотирикутника, а через нього до паралелограма. Докладно розглядаються види многокутників та їх властивості. Велика кількість взаємно обернених теорем, які формулюються і доводяться при вивченні властивостей і ознак паралелограма, дозволяє сформулювати і інтерпретувати уявлення про необхідні й достатні умови. На відміну від загальноосвітніх класів, темі «Необхідні й достатні умови» як важливій складовій математичного апарату потрібно приділити увагу і супроводити теоретичні відомості відповідним дидактичним матеріалом. Відомості про окремі види чотирикутників (прямокутник, ромб, квадрат) розглядаються практично в обсязі загальноосвітньої школи. Тут вивчається теорема про перетин висот трикутника, яка є базою для розв’язування широкого кола задач.

До теми «Вписані і описані чотирикутники», крім традиційного навчального матеріалу, включено багато відомостей щодо красивих геометричних об’єктів, які формують позитивне емоційне ставлення до предмета. Вивчення цієї теми є слушною нагодою для формування в учнів навичок використання допоміжних побудов (метод допоміжного кола, побудови, які базуються на необхідній і достатній умовах існування вписаного і описаного кіл чотирикутника), що формуватиме в них евристичний стиль мислення і геометричний зір.

Тема «Подібні трикутники» багато років традиційно входила до теми «Перетворення подібності» і вивчалася в 9 класі. Такий підхід значно звужував як теоретичне поле, у якому розглядаються трикутники у 8 класі, так і кількість і тематику задач, які могли бути запропоновані, різко обмежував методичну свободу вчителя. Тому є доцільним і доречним виділення окремого класу подібних фігур, а саме, подібних трикутників, яким притаманні певні специфічні властивості, і автономне його вивчення саме в курсі восьмого класу. Цей підхід дозволяє, з одного боку, надати належне підґрунтя для подальшого вивчення теми «Розв’язування прямокутних трикутників», а з іншого боку, сформувати початкові поняття про подібність фігур на прикладі трикутника як досить зручної геометричної фігури для дослідження властивостей подібності. Доцільність такого підходу підтверджує багаторічний досвід викладання теми «Рівні трикутники» автономно від теми «Рух». Таким чином, вивчення окремих випадків рівності і подібності фігур (на прикладі трикутників) можна трактувати як підґрунтя до впровадження понять рівності і подібності геометричних фігур дедуктивним шляхом, а від цього – до трактування рівності і подібності як результатів геометричних перетворень.

Тема «Розв’язування прямокутних трикутників» є традиційною для шкільного курсу геометрії. У курсі поглибленого вивчення геометрії підхід до розв’язування прямокутних трикутників заснований на визначенні метричних співвідношень у прямокутному трикутнику. Саме на цій базі у 8 класі вводяться означення тригонометричних функцій (синус, косинус, тангенс, котангенс) як співвідношень, що характеризують гострий кут прямокутного трикутника. Такий простий і наочний підхід, з одного боку, дає теоретичне підґрунтя для розв’язування великого класу задач, у тому числі практичної спрямованості, а з іншого боку, закладає основи для подальшого вивчення тригонометричних функцій у старших класах.

Тема «Площі многокутників» у класах з поглибленим вивченням математики спрямована перш за все на формування в учнів поняття про площу як адитивну функцію, областю визначення якої є многокутні області, а областю значень – додатні числа. Важливим є доведення формули для площі многокутника S=ab, де довжини сторін прямокутника можуть бути виражені ірраціональними числами.

Навчальний рік у восьмому класі завершується повторенням і систематизацією навчального матеріалу. Крім стандартного для загальноосвітньої школи повторення і систематизації знань наприкінці навчального року введено відповідну кількість годин для повторення на початку 9 класу.

Розглянемо окремо курси алгебри і геометрії, які вивчаються в 9 класі.

Друга тема курсу алгебри 9 класу «Доведення нерівностей» є продовженням і розширенням відповідної теми 8 класу. Проте у 8 класі на меті було набуття навичок розв’язування нерівностей, а в 9 класі – їх доведення. Треба розглянути кілька основних методів доведення нерівностей. Робота над цією темою формує в учнів евристичне мислення, навички аналізу і математичну інтуїцію.

Тема «Квадратична функція» є фундаментальною і займає провідне місце в курсі алгебри середньої школи. Це одна з не багатьох функцій, яка в шкільному курсі математики може бути вивчена найбільш докладно. Властивості цієї функції є підґрунтям для розв’язування широкого кола задач, рівнянь, нерівностей, застосування їх в курсі геометрії тощо. В арсеналі шкільної педагогічної науки накопичено велику кількість задач, розв’язання яких ґрунтується на властивостях квадратичної функції. Це стосується задач як алгоритмічного характеру, так і дослідницького, провідну роль серед останніх займають задачі з параметрами. Значну увагу слід приділити встановленню відповідності між властивостями квадратичної функції та її графічним зображенням, яка є підґрунтям для подальшого вивчення багатьох тем і тому має стати невід’ємною складовою математичного апарату, використовуваного учнями. Також вагомим елементом математичної культури є застосування графічних методів та інтерпретацій у розв’язуванні задач з параметрами.

Тема «Системи рівнянь і нерівностей» традиційно спрямована на нарощування арсеналу прийомів, які використовуються учнями для розв’язування задач. Природно, що в класах з поглибленим вивченням математики зростає як кількість методів і прийомів, так і їх складність. Проте важливо не тільки сформувати конкретні навички розв’язування, але й продовжити формування математичної культури учнів щодо таких понять як рівносильність систем рівнянь і нерівностей, система–наслідок даної. Невід’ємною частиною засвоєного учнями математичного апарату має стати доведення правочинності перетворень під час розв’язування систем, відстеження рівносильності або навпаки, звуження чи розширення множини розв’язків.

Тема «Елементи прикладної математики» найбільш яскраво показує практичне застосування теоретичного матеріалу курсу математики в різних сферах реального життя. Практичну значущість цієї теми мають відчути в першу чергу учні, орієнтовані на подальшу фахову діяльність в галузях, де математика відіграє прикладну роль: інформатиці, техніці тощо, що має стати емоційним підкріпленням для поглибленого вивчення курсу математики. Математичні моделі, що вивчаються, мають бути побудовані на матеріалі з практичних життєвих ситуацій, що сприятиме інтеріоризації запропонованого математичного апарату. Продовжується вивчення елементів теорії ймовірностей, яке було розпочато в 6 класі, тепер вже на формальній основі. Необхідним підґрунтям для цього є вивчення елементів комбінаторики. У цій темі важливою є інтерпретація запропонованих імовірнісних і статистичних характеристик, їх тлумачення в практичному плані. Слід зауважити, що тематика розділів “Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики» зазвичай є складною для сприйняття. Тому дуже важливим є розгляд достатньої кількості прикладів, а також історичних відомостей із становлення теорії ймовірностей (задача Д’Аламбера, дослідження Б. Паскаля), у яких належну увагу слід приділити коректному формулюванню опису окремих результатів і, як наслідок – правильному обчисленню загальної кількості результатів і кількості сприятливих подій.

Тема «Послідовності» в основному ґрунтується на традиційному матеріалі, що вивчається в загальноосвітніх класах. У класах з поглибленим вивченням математики важливо сформувати правильне уявлення про послідовність як функцію натурального аргументу. Під час вивчення цієї теми також формується математичний апарат використання методу математичної індукції. Уявлення про границю послідовності і про обчислення суми нескінченної геометричної прогресії є пропедевтичною базою для подальшого вивчення курсу математичного аналізу.

У курсі геометрії 9 класу другою темою є розв’язування трикутників, яка органічно розширює і поглиблює матеріал, вивчений у 8 класі. Поняття тригонометричних функцій (синус, косинус, тангенс, котангенс) розширюється в застосуванні до кутів, величини яких лежать в проміжку від 0° до 180°. Це дозволяє істотно розширити перелік формул для знаходження площі трикутника і чотирикутника і відповідно урізноманітнити коло розв’язуваних задач.

Тема «Правильні многокутники» в цілому відповідає програмі для загальноосвітньої школи. Поглиблене вивчення відбувається за рахунок збільшення кількості задач та їх ускладнення.

Тема «Декартові координати на площині» містить початкові відомості аналітичної геометрії. Тут передбачено знаходження відстані між точками на площині, вивчення рівнянь прямої і кола на площині та використання відповідного математичного апарату для розв’язування задач. Учні мають усвідомити зв’язок між геометричним образом на координатній площині і його аналітичним заданням, тобто засвоїти «мову рівнянь» у геометрії. Вивчення цієї теми має на меті розуміння і засвоєння методу координат.

Тема «Вектори на площині» є потужним прикладним інструментарієм для багатьох дисциплін. Слід органічно підтримувати міжпредметнi зв’язки, використовувати задачі практичної спрямованості. У класах з поглибленим вивченням математики дуже важливо продемонструвати роль векторів у розв’язуванні задач, показати учням, як за допомогою векторного методу полегшується розв’язання досить складних задач, які вони розв’язували раніше з використанням властивостей конкретних фігур та їх елементів. Під час вивчення цієї теми розкривається нове змістовне навантаження методу координат.

У темі «Геометричні перетворення» розглянуто рух та його види (паралельне перенесення, симетрії відносно точки і прямої, поворот), гомотетію, перетворення подібності, властивості цих перетворень. Знову розглядається подібність фігур, тепер вже в більш загальному порівняно з 8 класом аспекті, як результат перетворень на площині. Значну увагу слід приділити опису перетворень мовою Декартових координат на площині, встановленню відповідності між сутністю перетворення та його алгебраїчною інтерпретацією. Цей математичний апарат надає інструментарій для розв’язування широкого класу задач, у тому числі й тих, що розв’язувалися раніше іншими способами.

Тема «Початкові відомості з стереометрії» є знайомством учнів з фігурами в просторі і фактично – пропедевтичним вступом до курсу стереометрії, який вивчатиметься в старших класах. Зміст матеріалу практично збігається з тим, що вивчається в загальноосвітній школі. Увагу зосереджено на розгляді і обґрунтуванні тих властивостей тіл у просторі, які безпосередньо випливають з властивостей елементів цих тіл як фігур на площині. Наводиться ряд формул для обчислення площі поверхні та об’єму тіл. Для класу з поглибленим вивченням математики важливим є формування переходу від мислення в категоріях плоских фігур до мислення в просторі, усвідомлення того, що в просторі взаємне розташування фігур є більш різноманітним, ніж у площині, тому особливо важливу роль відіграє правильне виокремлення тих елементів тіл, які визначають це взаємне розташування. Значну увагу слід приділити формуванню в учнів культури графічного зображення тіл та їх елементів, використання допоміжних побудов, потреби в обґрунтуванні тих властивостей елементів додаткової побудови, на яких ґрунтується розв’язування задач.

Як і у 8 класі, навчальний рік у 9 класі завершується повторенням і систематизацією навчального матеріалу, спрямованими на систематизацію опорних знань, набутих протягом 8-9 класів, побудову міжпредметних зв’язків та усвідомлення взаємозв’язку вже вивчених тем, а також на підготовку до підсумкового оцінювання знань. Слід зазначити, що критерії підсумкового оцінювання знань для загальноосвітньої школи і класів з поглибленим вивченням математики різняться в сторону підвищення вимог для останніх. Однією з цілей повторення і систематизації знань має стати підкріплення формально-логічного підходу до побудови курсу шкільної математики, закріплення потреби в обґрунтуванні і доведенні математичних фактів, що використовуються учнями, наголошення на важливості такого підходу при подальшому поглибленому вивченні математики у старших класах.

Структура програми

Програма подана у формі таблиці, яка містить дві частини: зміст навчального матеріалу і вимоги до підготовки учнів.

У частині «Зміст навчального матеріалу», яка оформлена прямим шрифтом, включено зміст програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Текст, оформлений курсивом, містить навчальний матеріал, який вивчається у класах з поглибленим рівнем математики.

Програма передбачає можливість вивчення змісту курсу з різним степенем повноти. Додаткові питання і теми, узяті в квадратні дужки, можна не вивчати, що дозволяє вчителеві залежно від конкретних умов варіювати об’єм матеріалу, який вивчається, і відповідно ступінь поглиблення і розширення курсу.

9-й клас. Алгебра

(175 год. І семестр — 80 год, 5 год на тиждень,

ІІ семестр — 95 год, 5 год на тиждень)

К-ть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня підготовки учнів
10	Тема 1. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу 8 класу
15	Тема 2. Доведення нерівностей
	Основні методи доведення нерівностей. Нерівність Коші для двох чисел та її застосування. Нерівності між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє геометричне, середнє арифметичне, середнє квадратичне). [Нерівність Коші-Буняковського.] Метод використання відомих нерівностей.	Описує основні методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності. Доводить нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел. Розв’язує вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.
45	Тема 3. Квадратична функція
	Функції. Властивості функцій: парність і непарність, зростання і спадання, нулі і проміжки знакосталості, найбільше і найменше значення функції. [Використання властивостей функцій для розв’язування рівнянь і нерівностей.] Перетворення графіків функцій: f (x)  f (x) + b, f (x)  f (x + a), f (x)  kf (x), f (x)  f (kx), f (x)  f (–x),  f (x)  | f (x) |, f (x)  f (| x |). [Функції y = [x] і y = {x} та їх графіки.] Квадратична функція, її графік і властивості. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів. Задачі на дослідження властивостей квадратного тричлена з параметрами. Графічні прийоми розв’язування задач з параметрам	Формулює означення: функції, парної та непарної функцій, зростаючої та спадної функцій, нуля функції, проміжку зростання і проміжку спадання функції, проміжку знакосталості функції, найбільшого і найменшого значень функції. Описує алгоритми: побудови графіка квадратичної функції, перетворення графіків функцій ( f (x)  f (x) + b, f (x)  f (x + a), f (x)  kf (x), f (x)  f (kx), f (x)  f (–x),  f (x)  | f (x) |, f (x)  f (| x |)). Розв’язує вправи, що передбачають: побудову графіка квадратичної функції, побудову графіків функцій з використанням зазначених вище перетворень, розв’язування нерівностей методом інтервалів.
33	Тема 4. Системи рівнянь і нерівностей
	Рівняння з двома змінними. Графік рівняння з двома змінними. Рівносильні системи рівнянь. Система — наслідок даної. Методи розв’язування систем рівнянь. Нерівність з двома змінними. Графік нерівності з двома змінними. Системи нерівностей з двома змінними. Геометрична інтерпретація розв’язків системи нерівностей з двома змінними. Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь і нерівностей.	Формулює означення: розв’язку рівняння (нерівності) з двома змінними, графіка рівняння (нерівності) з двома змінними, рівносильних систем рівнянь (нерівностей) з двома змінними. Описує графічний метод розв’язування систем рівнянь з двома змінними. Розв’язує вправи, що передбачають розв’язання систем двох рівнянь з двома змінними методами підстановки, додавання, заміни змінних, побудову графіків рівнянь і нерівностей з двома змінними, складання і розв’язання систем рівнянь з двома змінними як математичних моделей реальних ситуацій.
25	Тема 5. Елементи прикладної математики
	Математичне моделювання. Відсоткові розрахунки. Формула складних відсотків. Комбінаторні правила додавання і множення. Основні формули комбінаторики. Розміщення, сполучення (комбінації), перестановки. Випадкова подія. Ймовірність випадкової події. Статистичне і класичне означення ймовірності. Обчислення ймовірностей за допомогою формул комбінаторики. Статистичні дані. Способи подання даних. Частота. Вибірка. Середні значення.	Наводить приклади математичних моделей реальних ситуацій, випадкових подій, подання статистичних даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Описує поняття: випадкова подія, ймовірність випадкової події, частота, середнє значення статистичних вимірювань. Формулює комбінаторні правила додавання і множення; означення понять: сполучення (комбінації), розміщення, ймовірність випадкової події. Розв’язує вправи, що передбачають використання формули обчислення складних відсотків, формул для обчислення перестановок, сполучень і розміщень, знаходження ймовірності випадкової події, знаходження частоти, моди і медіани статистичної вибірки.
32	Тема 6. Послідовності
	Числові послідовності. Способи задання числових послідовностей. Формула n-го члена. Рекурентний спосіб задання послідовностей. Арифметична і геометрична прогресії та їх властивості. Формули n-го члена і суми n перших членів прогресій. Нескінченна геометрична прогресія. Уявлення про границю послідовності. [Сумування послідовностей.] Метод математичної індукції та його застосування.	Описує способи задання числових послідовностей, метод математичної індукції. Формулює означення і властивості арифметичної та геометричної прогресій. Доводить властивості арифметичної та геометричної прогресій, формули n-го члена і суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресій. Має уявлення про суму членів нескінченної геометричної прогресії (<1) як про границю послідовності. Розв’язує вправи, що передбачають знаходження членів прогресії; задання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями  між ними; обчислення сум перших n членів арифметичної та геометричної прогресій; запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного; використання формул n-го члена і суми n перших членів прогресій для знаходження невідомих елементів прогресій; використання метода математичної індукції.
15	Тема 7. Повторення і систематизація навчального матеріалу

9-й клас. Геометрія

(105 год. І семестр — 48 год, 3 год на тиждень,

ІІ семестр — 57 год, 3 год на тиждень)

К-ть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня підготовки учнів
6	Тема 1. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу 8 класу
16	Тема 2. Розв’язування трикутників
	Синус, косинус, тангенс і котангенс як функції кут від 0о до 180о. Співвідношення між основними тригонометричними функціями:   , . Тотожності , , , . Теорема косинусів і синусів. Властивості сторін і діагоналей паралелограма. Формула для знаходження довжини медіани через сторони трикутника. Застосування формули . Розв’язування трикутників. (Тригонометрична форма теореми Чеви. Формула Ейлера для знаходження відстані між центрами вписаного і описаного кіл трикутника.) Формули для знаходження площі трикутника. Формула для знаходження площі чотирикутника через його діагоналі та кут між ними.	Формулює  означення: синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута від 0о до 180о; теореми: синусів, косинусів, про сторони і діагоналі паралелограма. Записує співвідношення між тригонометричними функціями. Доводить теореми: синусів, косинусів, про сторони і діагоналі паралелограма; формули: для обчислення радіуса описаного кола трикутника, для обчислення площі трикутника і чотирикутника. Володіє алгоритмами розв’язування трикутників. Застосовує вивчені теореми для розв’язування задач.
8	Тема 3. Правильні многокутники
	Правильні многокутники та їх властивості. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників. Побудова правильних многокутників. Довжина кола. Довжина дуги кола. Площа круга та його частин.	Формулює означення: правильного многокутника, кругового сектора, кругового сегмента; теореми: про відношення довжини кола до його діаметра, про довжину кола, про площу круга і його частин. Доводить формули для обчислення радіусів вписаного і описаного кіл правильного многокутника. Будує правильний шестикутник. Застосовує вивчені означення і теореми для розв’язування задач.
18	Тема 4. Декартові координати на площині
	Прямокутна система координат на площині. Формула відстані між точками із заданими координатами. Поділ відрізка в заданому відношенні. Координати середини відрізка. Рівняння фігури. Загальне рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Формула відстані від точки до прямої. Рівняння кола. Взаємне розміщення прямої і кола. Метод координат. (Коло Аполлонія. Формула Лейбніца.)	Описує прямокутну систему координат. Формулює означення рівняння фігури, умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Записує формули: відстані між двома точками, координат середини відрізка, координат точки поділу відрізка у заданому відношенні, відстані від точки до прямої; рівняння кола, загальне рівняння прямої, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Доводить формули: відстані між двома точками, координат середини відрізка; умову паралельності двох прямих. Виводить: загальне рівняння прямої, рівняння кола. Застосовує вивчені означення і теореми для розв’язування задач.
19	Тема 5. Вектори на площині
	Скалярні й векторні величини. Поняття вектора. Модуль і напрям вектора. Рівні вектори. Протилежні вектори. Координати вектора. Додавання і віднімання векторів. Множення вектора на число. Колінеарні вектори. Розкладання вектора за двома неколінеарними векторами. Скалярний добуток векторів і його властивості. Застосування векторів до розв’язування задач і доведення теорем.	Описує поняття вектора. Формулює означення понять: модуль вектора, колінеарні вектори, рівні вектори, протилежні вектори, координати вектора, сума і різниця двох векторів, добуток вектора і числа, скалярний добуток двох векторів; властивості дій над векторами; теорему про розкладання вектора за двома неколінеарними векторами. Доводить формули для обчислення: координат вектора, який є результатом дій над векторами, скалярного добутку двох векторів, заданих координатами. Застосовує вивчені означення і теореми для розв’язування задач.
20	Тема 6. Геометричні перетворення
	Поняття про перетворення фігури. Рух (переміщення) фігури та його властивості. Рівність фігур. (Композиція рухів.) Паралельне перенесення. Симетрії відносно точки та прямої. Поворот. Застосування рухів фігури для розв’язування задач. Гомотетія та її властивості. Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур. Застосування перетворень подібності та гомотетію для розв’язування задач. (Інверсія. Застосування інверсії для розв’язування задач.)	Описує поняття перетворення. Формулює означення понять: рух, паралельне перенесення, осьова і центральна симетрії, поворот, гомотетія, перетворення подібності, рівні фігури; властивості: руху, гомотетію, перетворення подібності, площ подібних фігур. Доводить, що паралельне перенесення, симетрії відносно прямої й точки є рухами. Задає паралельне перенесення за допомогою координат. Застосовує вивчені означення і теореми для розв’язування задач.
8	Тема 7. Початкові відомості з стереометрії
	Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування площин. Взаємне розташування прямої та площини. Перпендикуляр до площини. Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм призми і піраміди. Циліндр. Конус. Куля. Площі поверхонь і об’єми циліндра, конуса і кулі. Розв’язування задач на обчислення площ  поверхонь і об’ємів, у тому числі прикладного характеру.	Описує взаємне розміщення в просторі двох прямих; прямої та площини; двох площин. Пояснює, що таке: пряма призма, піраміда, циліндр, конус, куля та їх елементи; поверхня і об’єм многогранника і тіла обертання. Зображує і знаходить на рисунках многогранники і тіла обертання та їх елементи. Записує і пояснює формули для обчислення площ поверхонь і об’ємів зазначених у програмі геометричних тіл. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач, у т.ч. прикладного змісту.
10	Тема 8. Повторення і систематизація навчального матеріалу